February | 2011 | Duc The's homepage

14/02/2011

Đôi chút về phương trình Landau-Lifshit-Gilbert (LLG)

Filed under: Education,Engineering,Materials Science,Mô phỏng,Spin,Spintronics,Từ học — ducthe @ 07:51

Hình 1. Chuyển động của mômen từ dưới trường ngoài: hồi chuyển và tắt dần.

Tôi không phải là người giỏi toán (nếu không muốn nói là hơi kém) và có lẽ đây là điều tôi hối tiếc nhất cho sự nghiệp nghiên cứu của mình. Mỗi lần nhìn thấy nơi nào đó có những phương trình với giải toán là thấy chóng mặt hoa mắt. Thế những kể từ khi chính thức “dính’ vào nghiệp “spintronics” thì dù ít dù nhiều vẫn phải dính vào toán học cho các tính toán, mô phỏng. Và trong cái sự nghiệp này, tôi vẫn nhớ (và cũng ngán) nhất là phương trình LLG, một phương trình vô cùng cơ bản của lĩnh vực vi từ học. Còn nhớ đầu năm 2007, khi tôi bắt đầu trình diễn báo cáo của mình tại các meeting của Spin@RT có kết quả mô phỏng bằng OOMMF, tôi bị một vị GS (làm về tính toán) của Imperial College London hỏi độp 1 câu: “How did you solve the LLG equation?”. Tất nhiên là việc giải là do computer, nhưng thật xấu hổ là tôi lại giải thích các bước một cách rất lung tung, nghĩ đến giờ vẫn thấy xấu hổ. Tôi viết bài này để giới thiệu đến các bạn sinh viên học về từ học và vật liệu từ như một note để nói về tầm quan trọng của phương trình này. Một số hình ảnh được từ cuốn Handbook of Magnetism and Advanced Magnetic Materials (ed. by H. Kronmuller and S.S.P. Parkin) – đây là một cuốn sách rất hay và đầy đủ với 5 volumes, nhưng giá cực đắt ($1250). Nếu ai cần ebook của cuốn này xin để lại e-mail nhé.

1. Phương trình LLG

Cần nhấn mạnh rằng phương trình LLG được dùng để mô tả chuyển động hồi chuyển của mômen từ trong trường ngoài (bao gồm Oersted field, spin torque…). Ta có thể nhìn một hiện tượng đơn giản là mômen từ thường có xu hướng định hướng theo từ trường ngoài, hay bị quay đi khi có dòng điện tử phân cực spin tác động vào (theo quy tắc spin-transfer torque). Thế nhưng sự chuyển động theo các xu hướng này sẽ như thế nào? Lần đầu tiên, Landau và Lifshitz [1,2] đã mô tả chuyển động này qua một phương trình vi phân (ban đầu được đặt tên là phương trình Landau-Lifshitz):

$\frac{\mathbf{M}}{dt} = \gamma [\mathbf{M}\times\mathbf{H_eff}] - \frac{\alpha_L}{M} [\mathbf{M}\times[\mathbf{M}\times\mathbf{H_eff}]]$ (1)

Ở đây $\mathbf{M}, \mathbf{H_eff}$ lần lượt là độ từ hóa và trường hiệu dụng, $\gamma, \alpha_L$ lần lượt là tỉ số từ cơ ( $\gamma = -g|e|/2m$ ) và hệ số tắt dần Landau-Liftshit (damping coefficient). Ta có thể thấy rằng vế phải của phương trình LL (1) có 2 số hạng đại diện cho 2 loại chuyển động của mômen từ: số hạng đầu thể hiện chuyển động hồi chuyển, tức là mômen từ quay quanh trục của trường ngoài như con quay hồi chuyển; số hạng thứ hai đại diện cho sự dập tắt sự quay này (tắt dần) tức là mômen từ sẽ dần dần bị kéo chìm về phía trường ngoài. Và tổng hợp của hai số hạng này ta sẽ có một chuyển động được mô tả như hình 1. Về chuyển động hồi chuyển, xin các bạn đọc hãy tham khảo trở lại bài học cơ bản nhất về chuyển động Larmor của một mômen từ với tần số Larmor $\omega = -\gamma H_{eff}$ (dấu trừ (-) mang ý nghĩa rằng mômen từ sẽ quay theo chiều ngược chiều kim đồng hồ khi từ trường ngoài là dương – cùng hướng với mômen từ).

và tắt dần $C_R$ trong hai trường hợp phương trình LL và LLG. Hai phương trình này cùng tiệm cận khi hệ số $\alpha$ nhỏ.” src=”http://ducthe.files.wordpress.com/2011/02/fig2.jpg” alt=”Hình 2. So sánh các số hạng chuyển động hồi chuyển $C_P$ và tắt dần $C_R$ trong hai trường hợp phương trình LL và LLG. Hai phương trình này cùng tiệm cận khi hệ số $\alpha$ nhỏ.” width=”294″ height=”240″ /> Hình 2. So sánh các số hạng chuyển động hồi chuyển $C_P$ và tắt dần $C_R$ trong hai trường hợp phương trình LL và LLG. Hai phương trình này cùng tiệm cận khi hệ số $\alpha$ nhỏ.

Tuy nhiên, phương trình này chưa đầy đủ vào nằm 1955, Gilbert [3] đã chỉ ra rằng phương trình (1) chỉ có thể sử dụng trong trường hợp với hệ số tắt dần nhỏ. Và trong bài báo tiếp theo, Gilbert và Kelly [4] đã bổ sung và hoàn thiện phương trình LL thông qua một phương trình đầy đủ bằng cách thay thế các hệ số tắt dần bằng hệ số mới (G):

$\frac{\mathbf{M}}{dt} = \gamma_G [\mathbf{M}\times\mathbf{H_eff}] + \frac{\alpha_G}{M} [\mathbf{M}\times[\mathbf{M}\times\mathbf{H_eff}]]$ (2)

Và dẫn đến một phương trình LLG đầy đủ dưới dạng:

$\frac{\mathbf{M}}{dt} = \frac{\gamma_G}{1+\alpha_G^2} [\mathbf{M}\times\mathbf{H_eff}] + \frac{\alpha_G \gamma_G}{(1+\alpha_G^2)M} [\mathbf{M}\times[\mathbf{M}\times\mathbf{H_eff}]]$ (3)

Và thực chất đây vẫn chính là phương trình LL nguyên bản nếu ta thay thế các hệ số tương ứng:

$\gamma_L \rightarrow \frac{\gamma_G}{1+\alpha_G^2}$ và $\alpha_L \rightarrow -\frac{\alpha_G \gamma_G}{1+\alpha_G^2}$ (4)

Hệ số tắt dần $\alpha_G$ được gọi là hệ số tắt dần Gilbert (Gilbert damping coefficient) trở thành một thông số quan trọng của vật liệu và luôn được quan tâm trong các bài toán liên quan đến hệ spin. Từ đây, hệ số này sẽ được viết gọn là $\alpha$ . Ta chú ý rằng phương trình LL là một trường hợp của LLG trong trường hợp hệ số damping nhỏ. Hình 2 so sánh sự khác biệt của LL và LLG.

2. Phương trình LLG mở rộng và ứng dụng

Chúng ta thấy rằng phường trình LLG (3) chỉ cho ta lời giải về trạng thái của mômen từ trong trường hợp có trường ngoài. Nhưng nếu trong trường hợp có thêm các tương tác khác thì phương trình sẽ thay đổi như thế nào? Trong trường hợp đó, số hạng đặc trưng cho tương tác ấy sẽ được đưa vào vế phải của phương trình. Một trường hợp tiêu biểu nhất là tác động của dòng spin lên mômen từ, khi đó phương trình LLG sẽ được mở rộng dưới dạng:

$\frac{\partial M}{\partial t} = \gamma [ \mathbf{M} \times \mathbf{H_{eff}}] + \frac{\alpha}{M} \left [ \mathbf{M} \times \frac{d \mathbf{M}}{dt} \right ] - \frac{\sigma_j}{M^2} \mathbf{M} \times [\mathbf{M} \times (\mathbf{j} . \nabla) \mathbf{M} ] - \beta \frac{\sigma_j}{M} [\mathbf{M} \times (\mathbf{j} . \nabla) \mathbf{M} ]$ (5)

Ở đây, J đại diện cho mật độ dòng spin (các số hạng có chứa J sẽ đại diện cho tương tác của dòng spin lên mômen từ) và hệ số spin-torque $\sigma_j$ sẽ được cho bởi [5,6]:

$\sigma_j = \frac{\epsilon \mu_B}{eM(1 + \beta^2)}$

Với $\epsilon$ là hệ số phân cực spin, $\beta = \tau_{ex}/ \tau_{sf}$ là tỉ số giữa các thời gian hồi phục trao đổi và đảo spin.

Đến đây chắc bạn sẽ hiểu được vai trò của phương trình LLG, giúp ta xác định trạng thái của hệ spin theo thời gian cũng như theo các điều kiện bên ngoài. Nhưng bạn cũng đừng quá kỳ vọng tìm ra lời giải dạng giải tích của phương trình này bởi vì muốn giải nó không đơn giản với nhiều điều kiện biên, điều kiện ban đầu. Cách giải hiệu quả nhất vẫn là phương pháp số sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (xem bài viết của tôi về Micromagnetic simulation).

2.1. Tính toán cấu trúc từ và động học của cấu trúc từ

Hình 3. Mô phỏng cấu trúc từ trong các nanodots hình vuông và hình tròn có sự so sánh với thực nghiệm (Theo Advanced Light Source, Lawrence Berkeley National Laboratory).

Sử dụng phương trình LLG kết hợp với các bài toán khác của vi từ học (các bài toán về năng lượng) giúp ta tính toán cấu trúc từ của vật liệu từ (đặc biệt là các cấu trúc nano) và động học của chúng trong sự tương tác với trường ngoài (điện, từ trường…). Trong các tính toán này, phương pháp mô phỏng tính toán số vẫn là cách thức hiệu quả để đi đến kết quả cuối cùng mà tôi từng giới thiệu trong bài về kỹ mô phỏng vi từ. Để có nhiều bài toán mở rộng thì việc mở rộng phương trình LLG là cách thức mà nhiều người vẫn dùng bằng cách bổ sung các số hạng tương tác với trường ngoài vào bên vế phải của phương trình.

2.2. Khối lượng hiệu dụng của vách đômen

Khi chuyển động với vận tốc nhỏ, năng lượng của vách đômen sẽ cho bởi:

$\gamma_W = 4 \sqrt{A(K_1 + 1/2 \mu_0 M_s^2 \sin^2 \theta)}$ (6)

Và khi quy về bài toán động học chuyển động của vách đômen, năng lượng này sẽ bao gồm phần “thế năng” ( $\gamma_P = 4 \sqrt{AK_1}$ ) và “động năng” $\gamma_K = 1/2 m_W v^2$ ( $\gamma_W = \gamma_P + \gamma_K$ ). Từ đó, khối lượng hiệu dụng của vách đômen có thể được tính toán và được cho bởi [7]: